正高特级教师解2018年全国高考1卷理科数学第19题(有视频)

发布时间:2018-06-13 22:07

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     因学习数学,在很多人看来是一件难事,也是很多人不愿意去做的事情。但是,无论你愿意还是不愿意,也不管你认为难还是不难,世界各国各个年龄层次的学生还是要学习数学,而且各种高考、研招、高层次机构招人还是要考数学。为什么呢?这有很多说法,但都因社会的进步与人的终生发展,需要“学讲道理,能讲道理,发现真理”,而这,才是学习数学的真正目的.

  我们下面分析2018年全国高考1卷理科第19题,并从中体会如何“学讲道理,能讲道理”.

  试题如下:

  上面试题的第(1)小题,是确定数学对象的表示问题,不难得到下面的解答:

  为了理解上面试题的第(2)小题,我们先看下面的视频一:


  从上面的视频我们发现,过定点的直线l完全由其倾斜角确定,若选取其斜率k(存在时)为元,直线l是以k为元的一元数学对象. 尽管直线l可以变化,但图形中随着直线l变化而变化的两个角∠OMA与∠OMB却始终相等.

  上面的实验仅仅是发现,但数学认识不能停留在发现上,它要求我们证明,讲清为何相等,这就成为了19题考查考生的目的:看你是否“能讲道理”. 

  从实验中,我们看到直线l的斜率k确定了图形中的一切对象,当然,斜率k也确定了∠OMA与∠OMB是否相等. 因此,将与“∠OMA=OMB”等价的表述用斜率k表示出来是解决问题的关键.

  请看下面视频二:


  如果计算能力强大,按上面视频中的步骤即可基本完成证明过程. 但手工完成证明时,你能感觉到“人工智能”并不等同于人的智能.

  请看下面解答:


  上面的证明要求考生知道下列结论:

  在平面直角坐标系中,对两条倾斜角非90度的直线,若斜率互为相反数,则倾斜角互补或均为0.

  上面证法是一个好证法,但不是最基础、最自然的想法. 

  请看下面的想法:

  事实上,记点A关于x轴的对称点为A',我们还可以通过证明点A'与点BM共线来完成证明.  此时一样是得到上面的③,通过证明③来完成证明.

  上面关于第(2)小题的解析,均涉及直线l的斜率存在还是不存在,从而要分情形讨论.  能否有不分情形讨论的方法?

  我们知道,任意直线都有倾斜角,若选择直线l的倾斜角θ作为“元”,利用直线的参数方程去解决问题就不需分情形讨论了.

  请看下面视频三:


  上面视频三中的解题思路清晰吧,但你能写出这个解答吗?

  从下面解答中你又能体会到什么呢?

  看完上面的解答你可能会说,高考复习中没有谁说要掌握参数方程的这种用法,所以我不理会,考场上也没用、也不会用. 

  可是当你骑单车回家遇山洪来临,路过汽车司机要带你跑,你总不会对他说:“我从来都是骑车回家,所以不坐你的车!”

  如果你的数学学习不仅仅是为了考试,而是为了“学讲道理”,遇事“能讲道理”,期望未来能“发现真理”,并因此能为人类创造文明、幸福与快乐,那么你就真得学到了一些数学真谛. 相信那样的你,一定会对下列问题感兴趣:

  把问题中的右焦点F变为椭圆内其它的点,是否在椭圆外还存在一点M,使对椭圆的任意过点F的弦两端AB,仍有FMA=∠FMB


来源:清数学堂







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