新初一数学《有理数》知识汇总

发布时间:2018-07-11 17:04

 新初一数学《有理数》知识汇总,掌握它,开学领先一步!

暑假开始了,大家的预习热情也变得逐渐高涨,小升初的同学,恭喜你们即将成为初中生!颜老师给各位分享的就是数学第一章《有理数》部分的知识点~


正数和负数


知识点1 正数和负数的概念

(1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的数,叫做正数,在小学学过的数,除0以外都是正数,正数比0大。


(2) 像-3、-1.5、-1/2、-584等在正数前面加“-”(读作负)号的数,叫做负数。负数比0小。


(3) 零即不是正数也不是负数,零是正数和负数的分界。


注意:

(1) 为了强调,正数前面有时也可以加上“+”(读作正)号,例如:3、1.5也可以写作+3、+1.5。


(2) 对于正数和负数的概念,不能简单理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数。


例如:-a一定是负数吗?答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数,若a表示的是正数,则-a是负数;若a表示的是0,则-a仍是0;当a表示负数时,-a就不是负数了(此时-a是正数)。


正数、负数表示

正数和负数是根据实际需要而产生的,随着社会的发展,小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要,比如一些有相反意义的量:收入200元和支出100元、零上6和零下等等,它们不但意义相反,而且表示一定的数量,怎样表示它们呢?


我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的的量规定为负的,这样就产生了正数和负数


用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义为正,是可以任意选择的,但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。


有理数


知识点1 有理数的有关概念

有理数:整数和分数统称为有理数。


注:(1)有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为1的数,这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。

(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化,上述小数都可以用分数来表示,所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

(3)“0”即不是正数,也不是负数,但“0”是整数。


整数包括正整数、零、负整数。例如:1、2、3、0、-1、-2、-3等等。


分数包括正分数和负分数,例如:1/2、0.6、-1/2、-0.6等等。


知识点2 有理数的分类

(1) 按整数、分数的关系分类:


(2) 按正数、负数与0的关系分类:


注:通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数。


如果用字母表示数,则a>0表明a是正数;a<0表明a是负数;a≥0表明a是非负数;a≤0表明a是非正数。


知识点3 数轴

数轴是理解有理数概念与运算的重要工具,数与表示数的图形(如数轴)相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云:


数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。

数缺形时少直觉,形少数是难入微。

数形结合百般好,隔裂分家万事非。

切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!


数与形的第一次联姻——数轴,使数与直线上的点之间建立了对应关系,揭示了数与形的内在联系,并由此成为数形结合的基础。


1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。


数轴的定义包含三层含义:

(1) 数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;

(2) 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度,三者缺一不可;

(3) 原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的(通常取向右为正方向)。


2.数轴的画法:

(1) 画一条直线(一般画成水平的直线)。

(2) 在直线上选取一点为原点,并用这点表示零(在原点下面标上“0”)。

(3) 确定正方向(一般规定向右为正),用箭头表示出来。

(4) 选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3……;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3……


注:

(1) 原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取;

(2) 确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,……;从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,……;


3.数轴上的点与有理数的关系:

所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示。


4.利用数轴比较有理数的大小:

在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。


知识点4 相反数

1.相反数的定义

(1) 相反数的几何定义:在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数。如,4与-4互为相反数。


(2) 相反数的代数定义:只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同),我们说其中一个是另一个的相反数。


2.相反数的性质:

任何一个数都有相反数,而且只有一个。正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0。

0是唯一一个相反数等于本身的数。反之,如果a=-a,那么a一定是0.


3.相反数的特征:

若a与b互为相反数,则a+b=0(或a=-b)

若a+b=0(或a=-b),则a与b互为相反数。


4.求一个数的相反数的方法:(见书)


5.多重符号的化简

(1) 在一个数的前面添上一个“+”号,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5。

(2) 在一个数的前面添上一个“-”号,就成为原数的相反数。如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3。


知识点5 绝对值的概念

1.绝对值的几何定义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作“丨a丨”


2.绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。


知识点6 有理数大小的比较

正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。


利用数轴,在数轴右边的数永远大于左边的数。


有理数的加减法


有理数的加法

把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。


相加的两个有理数有以下几种情况:

(1)两数都是正数;

(2)两数都是负数;

(3)两数异号,即一个是正数,一个是负数;

(4)一个是正数,一个是0;

(5)一个是负数,一个是0;

(6)两个都是0。


知识点2 有理数加法法则

(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。

(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

(3)一个数同0相加,仍得这个数。


知识点3 有理数加法的运算定律

(1)加法交换律:a+b=b+a。

(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。


知识点4 有理数减法法则

减去一个数,等于加上这个数的相反数,即a-b=a+(-b)。


知识点5 有理数的加减混合运算

1.有理数加减法统一成加法的意义

对于有理数的加减混合运算中的减法,可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。


这样一来,就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式,有时,我们把这样的式子叫做代数和。


2.有理数加减混合运算的方法

(1) 运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

(2) 运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。


有理数的乘除法


知识点1 有理数乘法法则

两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数同0相乘,都得0。


知识点2 倒数的概念

乘积是1的两个数互为倒数。

由于a×1/a(a≠0) ,所以当a是不为0的有理数时,a的倒数是1/a。若a、b互为倒数,则ab=1。


知识点3有理数乘法法则的推广

(1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正。


(2)几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为0。


知识点4 有理数乘法的运算定律

(1)乘法交换律:ab=ba。

(2)乘法结合律:(ab)c=a(bc)。

(3)分配律:a(b+c)=ab+ac。


知识点5 有理数除法法则

(1) 除以一个数等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×1/b(b≠0)。

(2) 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0。


知识点6 有理数的乘除混合运算

除转乘,确定符号。


知识点7  有理数的四则混合运算

先乘除,后加减,如果有括号,就先算括号里面的。同级运算中,要按照从左到右的顺序。


有理数的乘方


知识点1 有理数乘方的意义


知识点2 有理数乘方运算的性质

正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。0的任何次幂都是0。


知识点3 有理数混合运算的运算顺序

先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。


知识点4 科学计数法


知识点5  研究近似数的意义

在生产实践和实际生活中,不仅存在着大量的准确数,同时也存在着大量的近似数。近似数就是与实际接近的数。


出现近似数的原因有两点:一是有时候不能得到完全准确的数,如太阳的半径大约是696 000千米;二是有时也没有必要弄得完全准确,如买10千克大米,有时可能多一点,有时也可能少一点。


知识点6 有效数字

四舍五入后的近似数,从左边第一个不为0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字。


方法技巧1:在只含有乘、除法的算式中,可以由“负”号的个数确定结果的符号。“负”号有奇数个时,结果为负;“负”号有偶数个时,结果为正。


方法技巧2:分数、小数乘除混合运算,通常把小数化为分数,带分数化为假分数。当把乘除都化成乘积的形式时,应先确定积和符号。含有多重括号,去括号的一般方法是由内向外,即依次去掉小、中、大括号,也可以由外到内。在进行混合运算时,要注意两点:一是运算顺序,二是运算符号。


方法技巧3:灵活运用有理数的运算法则、运算律,适当地添加或去括号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。

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